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科学全部课程↓知识点：
[引言]版的高中数学教材中，设置了大量新颖的数学探究活动。拟对此进行专项整理，供同学们选用。
[什么是生日悖论]在选择性必修的第二册中引入了“生日悖论”的数学探究活动，其简介如下：
下面，我们来简单的证明有关结论。
[为什么23人时“同生缘”的概率超过50%]为了简单起见，这里假设一年为天，不考虑闰年和闰月的情况。
假设一组人群中有n个人，其中n≥2。要计算生日都不相同的概率则有：第一个人的生日是选，第二个人的生日是选，……，依次类推，第n个人的生日是选-n+1。因此生日各不相同的概率为，
利用近似计算公式，
令N=，将上式整理得，
又根据两个重要极限中的第二个，
变形得，
从而有，
于是，生日相同的概率为，
若要P＞0.5，则有
两边取对数，
将N=代入，并注意到ln2≈0.。于是有
将右边的值稍微放大，取整数为。即
解得n≥23，即只要23个人就可以保证“同生缘”的概率大于50%。
[“同生缘”的概率值表和图像表示]当n取其他值时，生日相同的概率近似值如下表所示：
n
11
12
13
14
15
P
13.99
16.54
19.24
22.07
25
n
16
17
18
19
20
P
28.02
31.11
34.24
37.41
40.58
n
21
22
23
24
25
P
43.75
46.89
50
53.05
56.04
n
26
27
28
29
30
P
58.95
61.77
64.5
67.12
69.63
n
31
32
33
34
35
P
72.03
74.31
76.46
78.5
80.41
n
36
37
38
39
40
P
82.2
83.87
85.43
86.87
88.2
n
41
42
43
44
45
P
89.42
90.55
91.58
92.51
93.36
n
46
47
48
49
50
P
94.13
94.83
95.45
96.01
96.51
n
51
52
53
54
55
P
96.96
97.36
97.71
98.02
98.29
n
56
57
58
59
60
P
98.53
98.74
98.92
99.08
99.22
函数的图像如图所示。
需要指出的是，由于采用近似公式进行计算，概率值与精确值有差异。例如，教材中指出，人数达到41人时，“同生缘”的概率超过90%。上表的数据，在人数超过42时，概率超过90%。即
由于！这个数的数值很大，直接计算会导致结果溢出，所以需要编制计算机程序，每次乘以n/，结果如图所示。
[生日“悖论”的验证]教材中采用了年世界杯球员的数据进行了验证。年6月恰逢由于疫情推迟举办的欧洲杯，结果如下：
组别
国家
同生缘对数
是否同生缘
A组
意大利
1
1
土耳其
3
1
瑞士
1
1
威尔士
0
0
B组
比利时
1
1
丹麦
2
1
俄罗斯
2
1
芬兰
1
1
C组
荷兰
1
1
乌克兰
1
1
奥地利
0
0
北马其顿
4
1
D组
英格兰
2
1
克罗地亚
1
1
捷克
0
0
苏格兰
0
0
E组
瑞典
0
0
西班牙
0
0
斯洛伐克
1
1
波兰
4
1
F组
德国
1
1
法国
2
1
葡萄牙
2
1
匈牙利
2
1
合计
32
18
本届欧洲杯共有24支球队参赛，共分为6个小组。出于防疫的考虑，每队在23人的基础上，可以增加3人随队，但是每场比赛只能有23人报名参赛。
从统计结果可以看出，即使只考虑队内的情况，不考虑各队之间交叉相同的情况，本届欧洲杯生日相同的人员对数也远超预期。24支球队，共有18支球队至少有两人生日相同，即同生缘的概率高达75%。
[后记]本届欧洲杯，各队队内生日相同的人员名单，如下表所示：
序号
所属国家
号码
出生日期
中文姓名
1
意大利
8
/12/20
若日尼奥
9
/12/20
安德烈?贝洛蒂
2
土耳其
3
/3/5
梅里赫?德米拉尔
9
/3/5
凯南?卡拉曼
3
土耳其
18
/5/21
里德万?伊尔马兹
8
/5/21
多鲁克汗?托科兹
4
土耳其
21
/7/15
卡赫维奇
17
/7/15
布拉克?伊尔马兹
5
瑞士
8
/4/15
雷莫?弗罗伊勒
20
/4/15
艾迪米尔森?费尔南德斯
6
比利时
18
/6/28
杰森?德纳耶尔
7
/6/28
德布劳内
7
丹麦
2
/5/31
约阿希姆?安德森
18
/5/31
丹尼尔?瓦斯
8
丹麦
5
/5/20
乔金?迈赫勒
7
/5/20
罗伯特?斯科夫
9
俄罗斯
7
/11/5
马戈梅德?奥斯多耶夫
24
/11/5
罗曼?叶夫根耶夫
10
俄罗斯
20
/2/18
阿勒克塞?约诺夫
25
/2/18
丹尼斯?马卡罗夫
11
芬兰
11
/6/18
拉斯穆斯?舒勒
26
/6/18
马库斯?福斯
12
荷兰
22
/
登泽尔?邓弗里斯
20
/4/18
范德贝克
13
乌克兰
13
/9/1
伊利亚?扎巴尼
3
/9/1
赫尔希?苏达科夫
14
北马其顿
12
/9/5
R?扬科夫
9
/9/5
A?特拉伊科夫斯基
15
北马其顿
3
/2/10
J?扎伊科夫
23
/2/10
M?拉德斯基
16
北马其顿
8
/2/12
E?阿列奥斯基
13
/2/12
S?里斯托夫斯基
17
北马其顿
24
/2/20
D?阿夫拉莫夫斯基
19
/2/20
K?维尔科斯基
18
英格兰
23
/3/25
萨姆?约翰斯通
17
/3/16
杰登?桑乔
19
英格兰
2
/5/28
凯尔?沃克
5
/5/28
约翰?斯通斯
20
/5/28
菲尔?福登
20
克罗地亚
16
/6/19
什科里奇
9
/4/18
安德烈?克拉马里奇
21
斯洛伐克
16
/12/13
大卫?汉茨科
23
/12/13
马雷克?罗达克
22
波兰
19
/4/12
P?佛兰科尔瓦斯基
5
/4/12
J?贝德纳雷克
23
波兰
11
/1/23
K?斯韦德尔斯基
26
/1/23
普沙奇
24
波兰
20
/5/20
P?泽林斯基
3
/5/20
P?达维多维奇
25
波兰
22
/4/18
卢卡什?法比安斯基
1
/4/18
沃伊切赫?什琴斯尼
26
德国
13
/7/14
乔纳斯?霍夫曼
10
/7/14
塞尔日?格纳布里
27
法国
2
/3/28
本杰明?帕瓦尔
16
/3/28
史蒂夫?曼丹达
28
法国
25
/11/12
朱尔斯?孔德
8
/11/12
托马斯?勒马尔
29
葡萄牙
6
/12/22
丰特
5
/12/22
拉斐尔?格雷多
30
葡萄牙
8
/9/8
若奥?穆蒂尼奥
11
/9/8
布鲁诺?费尔南德斯
31
匈牙利
7
/1/15
卢瓦克?内戈
10
/1/15
托马斯?切利
32
匈牙利
24
/9/27
绍博尔奇?舍恩
22
/9/27
亚当?博格丹
最后感概一下，由于近年来娱乐形式的多样化，所以足球的受众大幅度下降。因此本届欧洲杯没有人专门整理球员的详细信息，欧足联的
